Por Que o Axioma da Escolha É Controverso

Com os avanços em computação quântica, empresas como IBM, Google e startups deep tech estão acelerando uma nova revolução tecnológica. Esse movimento impacta diretamente áreas como:

• Qubits: Unidades fundamentais que permitem processamento exponencialmente mais rápido
• Criptografia: Sistemas atuais podem se tornar vulneráveis com computadores quânticos avançados
• Descoberta de medicamentos: Simulações moleculares mais rápidas e precisas
• Otimização: Aplicações em logística, finanças e inteligência artificial

HComo os matemáticos decidem que algo é verdadeiro? Eles escrevem uma prova.

Freqüentemente, eles começam com provas que já existem, construindo ou estabelecendo conexões entre afirmações comprovadas. Cada uma dessas provas, por sua vez, baseou-se em outras provas para defender seu ponto de vista, e assim por diante. Provas após provas. Verdades sobre verdades. Mas eventualmente este processo deverá chegar ao fim. Em algum momento, as coisas são verdadeiras simplesmente porque são.

Estas verdades são os axiomas, as regras básicas. E é tentador parar por aí – declarar, como Penélope Maddyum filósofo da matemática da Universidade da Califórnia, Irvine, afirmou: “que os axiomas são verdades óbvias ou intuitivas ou conceituais”.

Afinal de contas, a maioria dos matemáticos simplesmente aceita que o seu trabalho se baseia num sistema axiomático – nomeadamente, “teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha”, ou ZFC – se se preocuparem em reconhecer os axiomas. ZFC é uma lista de 10 princípios básicos que juntos formam a base sobre a qual quase toda a matemática moderna é construída.

Mas uma inspeção mais detalhada revela um processo humano mais instável de estabelecimento da verdade. “Qualquer exame honesto e claro de como os axiomas do ZFC foram adotados teria que reconhecer que uma ampla gama de considerações matemáticas foi incluída nessas decisões”, disse Maddy.

Esse processo, que começou há mais de um século, ainda está em pleno andamento.

Paradoxos e dúvidas

O final dos anos 1800 foi uma época de paradoxos e dúvidas, resultado de os matemáticos começarem a buscar ideias coesas sobre quais regras o universo matemático obedecia. Existiam sistemas axiomáticos por aí, mas tendiam a ser para áreas específicas da matemática: os postulados de Euclides para a geometria; vários esquemas para padronizar aritmética. Mas como todos eles se encaixaram? Toda a matemática poderia ser derivada de um conjunto comum de regras?

Os matemáticos encontraram uma solução potencial – e mais dúvidas – no trabalho de Georg Cantor.

Na época, Cantor estava estudando os números reais – isto é, todos os números que aparecem na reta numérica – e o que eles poderiam dizer sobre a natureza do infinito. Ele descobriu que havia mais números reais do que números inteirosdando origem à profunda constatação de que nem todos os infinitos são do mesmo tamanho.

Para fazer essa comparação, Cantor utilizou uma ferramenta aparentemente simples: o conjunto. Um conjunto é uma coleção de objetos ou elementos. Pode ser uma coleção de números, como os números reais, ou uma coleção de formas, ou mesmo uma coleção de outros conjuntos. Com o tempo, ficou claro que ideias matemáticas complexas e díspares — quase todas elas — poderiam ser representadas com essas mesmas entidades elementares. Como resultado, o conjunto surgiu como uma ferramenta potencial para resolver quaisquer inconsistências entre as diferentes áreas da matemática.

Mas a teoria dos conjuntos inicial carecia de regras canônicas. Era possível definir conjuntos com qualquer propriedade, o que levava exatamente aos tipos de paradoxos que incomodavam os matemáticos da época. Considere, por exemplo, o conjunto de todos os conjuntos que não são membros de si mesmos. Este conjunto contém a si mesmo? Quer você responda sim ou não, você terá uma contradição hoje conhecida como paradoxo de Russell.

Como os matemáticos estavam obcecados com esses dilemas, o ZFC emergiu de uma luta com outra ideia de Cantor.

Em 1883, Cantor introduziu seu “princípio da boa ordenação”. Ele afirmou que deveria ser possível organizar qualquer conjunto de modo que todos os seus subconjuntos (não vazios) tivessem um menor elemento. Para conjuntos finitos, isso é intuitivo. Você sempre pode colocar os itens menores primeiro. Mas para conjuntos infinitos, é menos óbvio. Pegue o conjunto de inteiros {…, −2, −1, 0, 1, 2,…}. Os números negativos formam um subconjunto, mas também ficam cada vez mais baixos pela eternidade. Parece que não pode haver nenhum elemento mínimo.

Mas e se você organizar o conjunto original de inteiros assim: {0, −1, 1, −2, 2,…}? Agora você pode dizer que o menor elemento é aquele que vem primeiro em qualquer subconjunto. Desta forma, −1 torna-se o menor elemento do subconjunto de números negativos.

A “lei” de Cantor era que isso deveria ser possível para todos os conjuntos, mesmo que não seja possível construir explicitamente a ordem adequada. Era uma forma de argumentar que conjuntos infinitos se comportavam como conjuntos finitos.

Em 1904, o matemático alemão Ernst Zermelo provou isso. Ele fez isso mostrando que a lei de Cantor era equivalente a um princípio que ele desenvolveu enquanto explorava as propriedades dos conjuntos. Este princípio, o chamado axioma da escolha, dizia que se você começar com múltiplos (ou mesmo infinitos) conjuntos não vazios, poderá escolher um elemento de cada um desses conjuntos para criar um novo conjunto.

Zermelo desenvolveu seus outros axiomas para provar esta equivalência. “Ele estava apenas listando todas as suposições que precisava para obter a prova”, disse John Bagariaum teórico de conjuntos da Universidade de Barcelona. Essa lista incluía a ideia básica de que existe um conjunto, que é definido por seus elementos. Outros axiomas tratavam da formação de conjuntos a partir de outros conjuntos, ou da existência de conjuntos infinitos.

A lista de axiomas de Zermelo surgiu numa época em que muitos matemáticos, como Abraham Fraenkel, também estavam mexendo nos fundamentos da teoria dos conjuntos. Muitos deles chegaram a diferentes formulações de ideias semelhantes – e também a algumas novas, que resolveram problemas decorrentes de teorias mais recentes relacionadas com formas maiores de infinito. Em 1930, Zermelo divulgou uma lista “final” que incluía revisões de seus próprios axiomas, bem como alguns acréscimos – mas não, a princípio, o axioma da escolha. Os matemáticos hesitaram mais em incluí-lo porque, ao contrário dos outros axiomas, ele definia conjuntos sem fornecer uma forma explícita de construí-los.

Zermelo ficou satisfeito porque sua lista de princípios, conhecida como ZF, parecia limpar o universo da teoria dos conjuntos de muitos paradoxos importantes, como o de Russell. Mas ele lamentou não ter sido capaz de provar que o seu sistema axiomático era “consistente” – que não produzia contradições.

Ele não precisava ter se preocupado. Apenas alguns anos após a chegada da ZF, Kurt Gödel mostrou que nenhum sistema axiomático capaz de aritmética básica pode ser usado para provar a sua própria consistência. Além disso, qualquer sistema consistente também deve ser incompleto, o que significa que existem afirmações matemáticas verdadeiras que não podem ser provadas utilizando os axiomas do sistema.

Na verdade, na década de 1960, o matemático de Stanford, Paul Cohen, provou que o axioma da escolha é “independente” dos outros axiomas – isto é, sob as regras de ZF, o axioma da escolha não pode ser provado como verdadeiro ou falso.

Uma vez que ficou claro que a lógica não poderia validar o axioma da escolha de uma forma ou de outra, a questão passou a ser: é útil? E foi. Isso torna possível muitas outras matemáticas – especialmente matemática relacionada a objetos infinitos. Depois disso, o axioma da escolha ganhou uma aceitação muito mais ampla. “Sem escolha, suas ferramentas são muito limitadas”, disse Bagaria. “É como fazer contas com as mãos amarradas nas costas.” E assim o C (de “escolha”) passou a ser afixado à lista de axiomas que foram originalmente desenvolvidos para apoiá-lo.

O axioma da escolha demonstra a loucura de acreditar que os axiomas matemáticos são evidentes ou óbvios. Um axioma também pode ser aceito por muitas outras razões, como disse Maddy — como por seu poder de gerar teoremas interessantes.

Os axiomas ZFC são frequentemente considerados talvez as verdades mais universais que a humanidade conseguiu articular – pois embora seja possível aos físicos imaginar universos nos quais as leis físicas são invertidas, as leis matemáticas permanecerão constantes.

É um paradoxo sem solução: os fundamentos da matemática são tão universais, tão sólidos como qualquer coisa que a humanidade conhece, uma parte central de quase todas as verdades matemáticas. E ainda assim eles permanecem simplesmente aquilo em que escolhemos acreditar.

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